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Nombres équirépartis, nombres univers (collège, lycée)

mercredi 28 octobre 2009, par Christophe Devalland

On se limitera ici à l’écriture des nombres en base 10.
Définition  : On dit qu’un nombre réel x est équiréparti si, dans la suite infinie constituée des décimales de x (parfois il peut y avoir beaucoup de zéros !), chacun des chiffres de 0 à 9 a une fréquence d’apparition de $\textstyle{{ \frac{1}{10}}}$ .

Le fichier suivant est fourni aux élèves :

  1. a) On veut étudier le nombre 0,189145 (compléter les cellules B1 et B2).
    b) Compléter le tableau pour faire apparaître la fréquence d’apparition de chacun des chiffres de 0 à 9.
    c) Augmenter le nombre de décimales affichées pour atteindre progressivement 100 décimales. Observer l’évolution des fréquences. Le nombre 0,189145 est-il équiréparti ?
    c) En expérimentant (et en réfléchissant) dire si un nombre entier ou un nombre décimal peut être un nombre équiréparti. Justifier.
  2. a) Entrer le nombre $\textstyle{{ \frac{1}{3}}}$ dans la cellule B1 (entrer ="1/3") et afficher 20 décimales.
    b) Dire si $\textstyle{{ \frac{1}{3}}}$ est, semble, ne semble pas ou n’est pas équiréparti.
  3. a) Afficher les 50 premières décimales du nombre $\textstyle{{ \frac{1}{7}}}$.
    b) Pourquoi certaines décimales n’apparaissent jamais ? (On peut penser à faire un raisonnement par l’absurde en pensant au reste de la division euclidienne par 7)
    c) Dire si $\textstyle{{ \frac{1}{7}}}$ est, semble, ne semble pas ou n’est pas équiréparti.
  4. En s’inspirant du raisonnement de la question 3, on peut dire avec certitude que certains nombres s’écrivant sous la forme $\textstyle{{ \frac{1}{n}}}$ avec ${n}\in{{\mathbb{N}^\textrm{*}}}$ ne peuvent pas être équirépartis. Lesquels ?
  5. Expérimenter d’autres valeurs de $n$ et dire si les nombres de la forme $\textstyle{{ \frac{1}{n}}}$ sont, semblent, ne semblent pas ou ne sont pas équirépartis.
  6. On s’intéresse au nombre $\pi$ (="pi").
    a) Construire un diagramme permettant de visualiser la répartition des fréquences d’apparition des décimales de 0 à 9.
    b) En expérimentant avec le tableur, diriez-vous que $\pi$ est, semble, ne semble pas ou n’est pas équiréparti ?
  7. Et ${\sqrt{2}}$ (="sqrt(2)") ?

Remarque : à l’heure actuelle (fin 2009) personne n’a démontré que $\pi$ et ${\sqrt{2}}$ étaient équirépartis.

Définition  : on appelle nombre « univers » tout nombre réel dont la suite des décimales contient toute suite finie choisie à l’avance. Le nom donné à ces nombres se justifie par le fait que, à condition de numériser l’information, le développement décimal d’un tel nombre renferme aussi bien le prochain tirage du loto, le prochain sujet du contrôle de mathématiques, l’édition complète des Misérables (1800 pages dans la collection La Pléiade), l’œuvre complète de Mozart (ou des Beatles), la toile de La Joconde pixel par pixel, mais aussi tout le code génétique de chacun d’entre nous … ! Un tel nombre renferme donc dans son écriture décimale tout ce qui existe, existera ou a jamais existé (en nombre fini) dans l’univers.

  1. Le nombre de Champernowne valant 0,123456789101112131415161718192021... est-il un nombre univers ? Pourquoi ?
  2. Diriez-vous que les nombres de la forme $\textstyle{{ \frac{1}{n}}}$ avec ${n}\in{{\mathbb{N}^\textrm{*}}}$ sont, semblent, ne semblent pas ou ne sont pas des nombres univers ?
  3. On s’intéresse au nombre $\pi$ avec 100 décimales.
    Dans la cellule B18 choisir des nombres entre 0 et 99. Sont-ils présents dans le nombre $\pi$ ? Si non, peut-on toujours les trouver en augmentant le nombre de décimales ?
  4. A quel rang trouve-t-on 87 dans $\pi$ ? et 189 ?
  5. Diriez-vous que $\pi$ est, semble, ne semble pas ou n’est pas un nombre univers ?
  6. Et ${\sqrt{2}}$ ?

Remarque : à l’heure actuelle (fin 2009) personne n’a démontré que $\pi$ et ${\sqrt{2}}$ étaient des nombres univers.
Pour s’amuser : un site propose de trouver votre date de naissance dans les décimales de $\pi$.

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