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Somme de trois entiers consécutifs (collège)

vendredi 16 avril 2010, par Christophe Devalland

Cette activité va mettre en évidence tout l’intérêt de la factorisation. On laisse la machine effectuer des calculs algébriques qui dépassent de loin le niveau collège pour se concentrer sur le raisonnement. On aboutira à une généralisation de cette propriété dans certains cas.

On veut montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.

1. Créer une feuille de calcul sur le modèle ci-dessous et utiliser uniquement la fonction "csomme" pour vérifier cette propriété sur quelques exemples (il est possible, avec quelques formules bien choisies de remplir tout le tableau uniquement en donnant un nombre de départ dans la cellule A2)

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2. A la dernière ligne du tableau, remplacer le « premier nombre » par $n$.
Qu’obtient-on comme « somme des trois entiers » ?
A l’aide de la fonction "cquotient", diviser cette somme par 3 puis simplifier le résultat (icône "simplifier").
Pourquoi ce résultat est-il entier ?
Comment l’obtenir par le calcul ?
A-t-on ainsi démontré cette propriété ?

On veut savoir si, plus généralement, la somme de 2 entiers consécutifs est divisible par 2, la somme de 4 entiers consécutifs est divisible par 4, etc...

1. Cette propriété est-elle vraie pour la somme de 2 entiers consécutifs ? pour 4 ?

2. A l’aide de l’éditeur de fonctions (icône "CAS") compiler la fonction suivante (qui calcule la somme de $p$ entiers consécutifs en commençant à $n$) :


A l’aide de la ligne de commande, utiliser la fonction pSommes pour calculer quelques sommes de 2 puis 4 entiers consécutifs pour confirmer la réponse à la question 1.

3. Utiliser encore cette fonction pour calculer quelques sommes de 5 entiers consécutifs.
Que constate-t-on ?

4. Remplir le tableau suivant en utilisant la fonction pSommes :

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Cela suffit-il à démontrer la propriété pour 5 entiers consécutifs ?

5. Remplacer le premier entier 20 par $n$. Dans la colonne C, demander la simplification du résultat obtenu.
Comment conclure rigoureusement quant à la somme de 5 entiers consécutifs ?

6. En testant des valeurs de $p$ impaires, vérifier que la propriété reste vraie.
En testant des valeurs de $p$ paires, vérifier que la propriété est toujours fausse.

7. Entrer la valeur ${p}={2 q}+1$ dans la cellule B2.
Calculer la forme factorisée du résultat simplifié (utiliser la fonction "factoriser").
Peut-on conclure ?

8. Terminer l’étude de cette propriété pour les nombres $p$ pairs.

Travail attendu :

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La somme dans le cas général vaut . Un peu de réflexion est nécessaire pour expliquer pourquoi ce nombre est toujours divisible par 3. On voit l’intérêt d’une factorisation par 3 (à effectuer manuellement par l’élève).
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la fonction pSommes confirme que la somme de 2 entiers consécutifs n’est pas toujours divisible par 2. Idem pour 4. Par contre, on trouve un exemple qui vérifie la propriété pour 5 entiers consécutifs.
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La simplification de la somme de 5 entiers consécutifs partant de confirme que cette somme est un multiple de 5.
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On généralise en calculant la somme de $p$ entiers consécutifs partant de $n$. Pour $p=2q+1$, c’est-à-dire $p$ est impair, la factorisation du résultat confirme que cette somme est un multiple de $p$.