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Une utilisation de la forme canonique : étude des variations d’une fonction trinôme

vendredi 1er juillet 2011, par Christophe Devalland

Extrait du document ressource « fonctions » de la classe de seconde :
“Lorsqu’il s’agira ensuite pour un élève de donner les variations d’une fonction polynôme du second degré quelconque, il pourra par exemple :
Prendre appui sur le fait – établi en cours – qu’une fonction polynôme de degré 2 est soit croissante puis décroissante soit le contraire. Il ne lui restera plus alors qu’à trouver pour quel nombre réel il y a changement de variation.
Si la forme canonique est disponible (soit parce que l’expression de la fonction est mise naturellement sous cette forme soit parce que l’élève identifie qu’il en a besoin et qu’il l’obtient en utilisant un logiciel de calcul formel), il pourra en déduire à la fois l’extremum, la valeur en laquelle il est atteint et son caractère (minimum ou maximum)”

Le fichier "forme canonique (étude d’extremum).ods" sert de document de travail pour cette étude :

OpenDocument Spreadsheet - 18.5 ko
forme canonique (étude des variations).ods

Voici son contenu :

PNG - 140.6 ko
Remarques : La fonction trinome a été préalablement définie dans l’éditeur de fonction (icône CAS) par : trinome(a,b,c) :=a*x^2+b*x+c
formecanonique, fmin et fmax sont des fonctions de CmathOOoCAS.
Les trois curseurs permettent de modifier les valeurs de a, b et c avec un pas défini dans la cellule F27.

Les réponses aux questions suivantes peuvent être conjecturées en manipulant les curseurs :

  1. Quelles est l’influence de $a$ sur l’allure de la courbe représentative C de la fonction trinôme $f$ ?
  2. Sous quelle condition $f$ présente-t-elle un maximum, un minimum ?
  3. Quelle est l’influence de $c$ sur $f$ ?
  4. Quel intérêt présente la forme canonique de $f$ ?
  5. Expliquer les « infinity » qui apparaissent à Xmin ou Xmax
  6. Commenter les valeurs de Xmin, f(Xmin), Xmax et f(Xmax) lorsque ${a}={0}$. Quelle est alors la nature de $f$ ?
  7. à compléter suivant inspiration ...